湖南省衡阳市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）
2024-08-05 17:36:07 学考宝 作者：佚名
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衡阳市一中2022级2023-2024学年下学期期末考试
高二数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数在上的单调性是（ ）．
A．单调递增
B．单调递减
C．在上单调递减，在上单调递增
D．在上单调递增，在上单调递减
2．已知数列是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，则（ ）
A．15 B．17 C．31 D．33
3．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如果定义在R上的函数满足：对于任意，都有
，则称为“函数”．给出下列函数：①；②；③；④，其中“函数”的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
5．剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下
折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数恰有两个零点，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数，且，下列命题：其中正确的命题是（ ）
A．若，则；
B．存在，，使得；
C．若，，则；
D．对任意的，，都有.
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数的极小值为，极大值为
C．若时， ，则t的最大值为2
D．若方程有两个实根，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是关于带余除法的问题，现有这样一个问题：将2至2019这2018个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 ．
13．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线交于A，B两点，A，B中点在轴上方且其横坐标为1，，则直线的斜率为 .
14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，若平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD是矩形，，点Q是PD的中点，则下列结论中正确的是 ．（填序号）
①平面PAD；②PC与平面AQC所成角的余弦值为；
③三棱锥B-ACQ的体积为；④四棱锥Q-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为．
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：
因发烧请假 非发烧请假 合计
流感暴发前 10 30
流感暴发后 30
合计 70
(1)完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响．
(2)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为，且的因发烧请假的男生需要输液治疗，的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率．
附：．
0．05 0．01 0．001
3．841 6．635 10．828
16．已知为各项均为正数的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列前n项和．
17．为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为．
(1)求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率；
(2)求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率．
18．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若为的中点，求二面角的大小.
19．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个不同的零点，
（i）求实数的取值范围：
（ⅱ）若满足，求实数的最大值.
高二数学答案
1．C
2．C
3．B
4．C
5．B
6．B
7．B
8．B
9．AD
10．BCD
11．BCD
12．57
13．
14．②④
15．（1）零假设为：流感暴发与请假的同学中发烧的人数之间相互独立．
完成列联表如下所示．
因发烧请假 非发烧请假 合计
流感暴发前 10 20 30
流感暴发后 30 10 40
合计 40 30 70
根据列联表中的数据，经计算得
．
所以我们推断不成立，即可以认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响．
（2）设事件表示请假的同学为女生，事件表示需要输液治疗，
，，
则．
所以这名同学是女生的概率为．
16．（1）设等比数列公比为
（2）
17．（1）用，分别表示第一次、第二次借阅“期刊杂志”，用，表示第一次、第二次借阅“文献书籍”.
则，，，,.
记两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”为事件，则
.
（2）设第二次借阅“文献书籍”为事件，则：
.
18．（1）以为原点，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
而，故，，
故，，，
设面的法向量为，故得，
令，解得，，故得，
显然与平行，故平面得证.
（2）易知，，，，
，，设面的法向量为，
故有，令，解得，，故，
设面的法向量为，故得，
令，解得，，故，
设二面角为，结合图象可知，
故，
故，即二面角的大小为.
19．1）函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的递增区间是，无递减区间；
当时，的递增区间是，递减区间是.
（2）（ⅰ）由，得，令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，恒成立，且，
由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点，
因此，即，
所以实数的取值范围是.
（ⅱ）由，得，且，
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则，
又，令，，
由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以a的最大值是.
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